Ecuaciones con Fracciones

Las fracciones suelen intimidar, pero tienen un secreto: siempre podemos deshacernos de ellas. Al multiplicar toda la ecuación por el Mínimo Común Múltiplo (MCM), transformamos inmediatamente una ecuación difícil en una lineal simple sin denominadores.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La estrategia del "Mínimo Común Múltiplo" para eliminar denominadores.
• Cómo manejar ecuaciones con un solo denominador vs. múltiples.
• El cuidado necesario con los signos menos frente a fracciones.
• Cómo verificar soluciones fraccionarias.

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🧹 El Método de Limpieza

El objetivo es convertir la ecuación fraccionaria en una entera equivalente.

Pasos:

1. Hallar el MCM de todos los denominadores.
2. Multiplicar todo (cada término de ambos lados) por ese MCM.
3. Simplificar cada fracción (el denominador debe desaparecer).
4. Resolver la ecuación entera resultante.

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Fracciones Simples

Ejemplo 1

Resolver $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$.

Paso 1: MCM de 2 y 3 es 6.
Paso 2: Multiplicamos por 6.

$$6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 10$$ $$3x + 2x = 60$$ $$5x = 60 \implies x = 12$$ $$\boxed{x = 12}$$

Ejemplo 2

Resolver $\frac{x}{4} - \frac{x}{6} = 1$.

Paso 1: MCM de 4 y 6 es 12.

$$12 \cdot \frac{x}{4} - 12 \cdot \frac{x}{6} = 12 \cdot 1$$ $$3x - 2x = 12$$ $$\boxed{x = 12}$$

Ejemplo 3

Resolver $\frac{2x + 1}{3} = 5$.

Multiplicamos por 3 para quitar el denominador.

$$2x + 1 = 15$$ $$2x = 14 \implies x = 7$$ $$\boxed{x = 7}$$

Ejemplo 4

Resolver $\frac{x - 2}{5} + \frac{x + 3}{2} = 4$.

Paso 1: MCM de 5 y 2 es 10.

$$2(x - 2) + 5(x + 3) = 40$$

Paso 2: Distribuimos.

$$2x - 4 + 5x + 15 = 40$$

Paso 3: Agrupamos.

$$7x + 11 = 40$$ $$7x = 29 \implies x = \frac{29}{7}$$ $$\boxed{x = \frac{29}{7}}$$

Ejemplo 5

Resolver $\frac{3x}{4} - \frac{x}{2} = \frac{1}{8}$.

Paso 1: MCM de 4, 2 y 8 es 8.

$$8 \cdot \frac{3x}{4} - 8 \cdot \frac{x}{2} = 8 \cdot \frac{1}{8}$$ $$2(3x) - 4(x) = 1$$ $$6x - 4x = 1 \implies 2x = 1$$ $$\boxed{x = \frac{1}{2}}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos: Fracciones Complejas

Ejemplo 6

Resolver $\frac{x+1}{2} - \frac{x-1}{3} = 2$.

Paso 1: MCM de 2 y 3 es 6.

$$3(x+1) - 2(x-1) = 12$$

Paso 2: Distribuimos (¡ojo con el -2!).

$$3x + 3 - 2x + 2 = 12$$ $$x + 5 = 12 \implies x = 7$$ $$\boxed{x = 7}$$

Ejemplo 7: Sin Solución

Resolver $\frac{2x-3}{4} = \frac{x+1}{2}$.

MCM es 4.

$$2x - 3 = 2(x + 1)$$ $$2x - 3 = 2x + 2$$ $$-3 = 2 \quad \text{(Falso)}$$ $$\boxed{\text{Sin Solución}}$$

Ejemplo 8

Resolver $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 1$.

MCM de 2, 3, 6 es 6.

$$3x + 2x + x = 6$$ $$6x = 6 \implies x = 1$$ $$\boxed{x = 1}$$

Ejemplo 9

Resolver $\frac{5x-2}{6} - \frac{3x+1}{4} = \frac{1}{3}$.

MCM de 6, 4, 3 es 12.

$$2(5x-2) - 3(3x+1) = 4$$ $$10x - 4 - 9x - 3 = 4$$ $$x - 7 = 4 \implies x = 11$$ $$\boxed{x = 11}$$

Ejemplo 10

Resolver $\frac{x-1}{2} + 3 = \frac{2x+1}{4}$.

MCM = 4.

$$2(x-1) + 12 = 2x + 1$$ $$2x - 2 + 12 = 2x + 1$$ $$2x + 10 = 2x + 1$$ $$10 = 1 \quad \text{(Falso)}$$ $$\boxed{\text{Sin Solución}}$$

Ejemplo 11: Verificación

Verificar $x=12$ en $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$.

$$\frac{12}{2} + \frac{12}{3} = 6 + 4 = 10$$ $$\boxed{10 = 10}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$.

Ver solución

MCM = 12:

$$4x + 3x = 84 \implies 7x = 84 \implies x = 12$$

Resultado: $\boxed{x = 12}$

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Ejercicio 2

Resuelve $\frac{2x-1}{5} = 3$.

Ver solución

$$2x - 1 = 15 \implies 2x = 16 \implies x = 8$$

Resultado: $\boxed{x = 8}$

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Ejercicio 3

Resuelve $\frac{x+2}{3} - \frac{x-1}{6} = 1$.

Ver solución

MCM = 6:

$$2(x+2) - (x-1) = 6 \implies 2x + 4 - x + 1 = 6 \implies x = 1$$

Resultado: $\boxed{x = 1}$

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Ejercicio 4

Resuelve $\frac{x}{2} - \frac{x}{5} = 6$.

Ver solución

MCM = 10:

$$5x - 2x = 60 \implies 3x = 60 \implies x = 20$$

Resultado: $\boxed{x = 20}$

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Ejercicio 5

Resuelve $\frac{3x+4}{2} = \frac{5x-2}{3}$.

Ver solución

$$3(3x+4) = 2(5x-2) \implies 9x + 12 = 10x - 4 \implies x = 16$$

Resultado: $\boxed{x = 16}$

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Ejercicio 6

Resuelve $\frac{x-3}{4} + \frac{x+1}{6} = 2$.

Ver solución

MCM = 12:

$$3(x-3) + 2(x+1) = 24 \implies 3x-9+2x+2 = 24 \implies 5x = 31$$

Resultado: $\boxed{x = 31/5}$

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Ejercicio 7

Resuelve $\frac{x}{5} = 2 - \frac{x}{5}$.

Ver solución

MCM = 5:

$$x = 10 - x \implies 2x = 10 \implies x = 5$$

Resultado: $\boxed{x = 5}$

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Ejercicio 8

Resuelve $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 3$.

Ver solución

MCM = 4:

$$2x + x = 12 \implies 3x = 12 \implies x = 4$$

Resultado: $\boxed{x = 4}$

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Ejercicio 9

Resuelve $\frac{x-1}{2} = \frac{x+1}{3}$.

Ver solución

$$3(x-1) = 2(x+1) \implies 3x - 3 = 2x + 2 \implies x = 5$$

Resultado: $\boxed{x = 5}$

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Ejercicio 10

Resuelve $\frac{5x}{6} - 1 = \frac{x}{6}$.

Ver solución

MCM = 6:

$$5x - 6 = x \implies 4x = 6 \implies x = 1.5$$

Resultado: $\boxed{x = 1.5}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Multiplicar por el MCM "aplana" el terreno de juego, eliminando los obstáculos (fracciones) para que podamos correr directo hacia la solución.