Método de Cramer (Determinantes)

Hasta ahora hemos usado trucos algebraicos. El método de Cramer es diferente: es una fórmula mágica. Si organizas los números en una matriz y calculas sus "determinantes", la respuesta aparece automáticamente sin tener que despejar nada. Es ideal para programar computadoras o para quienes prefieren la aritmética sobre el álgebra.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Qué es un determinante de 2×2 y cómo calcularlo.
• La Regla de Cramer para encontrar $x$ y $y$.
• Cómo detectar sistemas sin solución o infinitas soluciones usando el determinante principal.
• Aplicar la fórmula mecánicamente.

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🧮 El Determinante 2×2

Un determinante es un número especial asociado a un cuadrado de números. Se calcula multiplicando en cruz y restando.

$$\text{Det} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = (a \cdot d) - (c \cdot b)$$

Ejemplo:

$$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (3 \cdot 5) - (1 \cdot 2) = 15 - 2 = 13$$

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📐 La Regla de Cramer

Dado el sistema:

$$\left\{ \begin{array}{ll} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{array} \right.$$

Necesitamos calcular 3 determinantes:

1. Determinante del Sistema ($\Delta_S$): Solo con los coeficientes de $x$ y $y$.

   $$\Delta_S = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$

2. Determinante de X ($\Delta_x$): Cambiamos la columna de las $x$ por los resultados ($e, f$).

   $$\Delta_x = \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}$$

3. Determinante de Y ($\Delta_y$): Cambiamos la columna de las $y$ por los resultados.

   $$\Delta_y = \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}$$

Solución:

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta_S}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta_S}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo Directo

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{array} \right.$$

Paso 1: Determinante del Sistema ($\Delta_S$)

$$\Delta_S = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$$

Paso 2: Determinante de X ($\Delta_x$)
Reemplazamos columna $x$ ($2, 1$) por resultados ($7, 1$).

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (7)(-1) - (1)(3) = -7 - 3 = -10$$

Paso 3: Determinante de Y ($\Delta_y$)
Reemplazamos columna $y$ ($3, -1$) por resultados ($7, 1$).

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (1)(7) = 2 - 7 = -5$$

Paso 4: Solución

$$x = \frac{-10}{-5} = 2$$ $$y = \frac{-5}{-5} = 1$$

Resultado:

$$\boxed{x = 2, \quad y = 1}$$

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Ejemplo 2: Números Grandes

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 1 \end{array} \right.$$

Calculamos:

$$\Delta_S = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -9 - 10 = -19$$ $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 12 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -36 - 2 = -38$$ $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 60 = -57$$

Dividimos:

$$x = \frac{-38}{-19} = 2$$ $$y = \frac{-57}{-19} = 3$$

Resultado:

$$\boxed{x = 2, \quad y = 3}$$

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Ejemplo 3: Sistema Imposible ($\Delta_S = 0$)

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 5 \end{array} \right.$$

Calculamos $\Delta_S$:

$$\Delta_S = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 4 = 0$$

Como no se puede dividir por cero, el sistema no tiene solución única.
Calculamos $\Delta_x$:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 12 - 20 = -8$$

Como $\Delta_S = 0$ pero $\Delta_x \neq 0$:

Resultado:

$$\boxed{\text{Sin Solución}}$$

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Ejemplo 4: Sistema Indeterminado ($\Delta_S = \Delta_x = 0$)

Resolver:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{array} \right.$$

Cálculos:

$$\Delta_S = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0$$ $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 4 = 0$$

Todo es cero:

Resultado:

$$\boxed{\text{Infinitas soluciones}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$.

Ver solución

$(5)(4) - (2)(3) = 20 - 6$.
Resultado: $\boxed{14}$

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Ejercicio 2

Calcula $\begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$.

Ver solución

$(-2)(-1) - (3)(5) = 2 - 15$.
Resultado: $\boxed{-13}$

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Ejercicio 3

Resuelve: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$

Ver solución

$\Delta_S = -3$, $\Delta_x = -9$, $\Delta_y = -6$.
$x = 3, y = 2$.
Resultado: $\boxed{(3, 2)}$

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Ejercicio 4

Resuelve: $\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Ver solución

$\Delta_S = -5$, $\Delta_x = -15$, $\Delta_y = -5$.
$x = 3, y = 1$.
Resultado: $\boxed{(3, 1)}$

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Ejercicio 5

Resuelve: $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$

Ver solución

$\Delta_S = -7$, $\Delta_x = -7$, $\Delta_y = -14$.
$x = 1, y = 2$.
Resultado: $\boxed{(1, 2)}$

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Ejercicio 6

Resuelve: $\begin{cases} 5x - y = 9 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$

Ver solución

$\Delta_S = 17$, $\Delta_x = 34$, $\Delta_y = 17$.
$x = 2, y = 1$.
Resultado: $\boxed{(2, 1)}$

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Ejercicio 7

Si $\Delta_S = 10$, $\Delta_x = 20$ y $\Delta_y = 50$, halla la solución.

Ver solución

$x = 20/10 = 2$.
$y = 50/10 = 5$.
Resultado: $\boxed{(2, 5)}$

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Ejercicio 8

¿Qué pasa si $\Delta_S = 0$ y $\Delta_x = 5$?

Ver solución

División por cero con numerador distinto de cero.
Resultado: $\boxed{\text{Sin Solución}}$

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Ejercicio 9

Resuelve: $\begin{cases} x = 2y + 10 \\ y = 2x - 14 \end{cases}$ (Ordena primero)

Ver solución

$x - 2y = 10$ y $-2x + y = -14$.
$\Delta_S = -3$, $\Delta_x = -18$, $\Delta_y = 6$.
$x = 6, y = -2$.
Resultado: $\boxed{(6, -2)}$

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Ejercicio 10

Resuelve: $\begin{cases} 4x + 3y = 2 \\ 2x + 5y = -6 \end{cases}$

Ver solución

$\Delta_S = 14$, $\Delta_x = 28$, $\Delta_y = -28$.
$x = 2, y = -2$.
Resultado: $\boxed{(2, -2)}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Cramer es un método mecánico y seguro. Si no te gusta pensar en qué multiplicar o cómo despejar, Cramer es tu mejor amigo. Solo ten cuidado con los signos al restar en el determinante.