Semejanza de Triángulos

¿Alguna vez has hecho zoom en una foto en tu celular? La imagen se hace más grande, pero las personas y objetos no se deforman; mantienen su forma exacta. En geometría, esto se llama semejanza. Dos figuras son semejantes cuando son una "copia a escala" la una de la otra.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Comprender qué significa que dos triángulos sean semejantes.
• Calcular la razón de semejanza ($k$) entre dos figuras.
• Aplicar los criterios de semejanza (AA, LLL, LAL).
• Resolver problemas hallando lados desconocidos usando proporciones.
• Relacionar las áreas de triángulos semejantes.

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📐 Concepto de Semejanza

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, aunque tengan distinto tamaño.

Para que esto ocurra, deben cumplirse dos condiciones simultáneamente:

1. Sus ángulos correspondientes son iguales.
2. Sus lados correspondientes son proporcionales.

El símbolo de la semejanza es $\sim$.

$$\triangle ABC \sim \triangle DEF$$

Razón de Semejanza ($k$)

Es el número por el que multiplicamos los lados del triángulo pequeño para obtener los del grande.

$$\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k$$

Proporciones en Perímetros y Áreas

Cuando dos triángulos son semejantes con una razón $k$, todas sus medidas lineales cambian en la misma proporción, pero las de superficie (áreas) cambian al cuadrado.

1. Perímetros y Medidas Lineales ($k$)

Cualquier medida de "longitud" (lados, perímetros, alturas, medianas) sigue la misma razón $k$.

$$\frac{\text{Perímetro}_2}{\text{Perímetro}_1} = k$$ $$\frac{\text{Altura}_2}{\text{Altura}_1} = k$$

2. Áreas ($k^2$)

La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza. Esto ocurre porque el área se calcula multiplicando dos dimensiones (base y altura), y ambas han sido multiplicadas por $k$.

$$\text{Área} = \frac{(b \cdot k) \cdot (h \cdot k)}{2} = \frac{b \cdot h}{2} \cdot \mathbf{k^2}$$ $$\boxed{\frac{\text{Área}_2}{\text{Área}_1} = k^2}$$

💡 Importante: Si la razón de semejanza es $k=3$, el triángulo grande tendrá un perímetro 3 veces mayor, pero un área 9 veces mayor ($3^2 = 9$).

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🔍 Criterios de Semejanza

Al igual que en la congruencia, existen "atajos" para saber si dos triángulos son semejantes sin medir todo.

1. Criterio AA (Ángulo-Ángulo)

Es el más usado. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, entonces son semejantes. (El tercer ángulo obligatoriamente será igual porque suman 180°).

$$\text{Si } \angle A = \angle D \text{ y } \angle B = \angle E \implies \triangle ABC \sim \triangle DEF$$

2. Criterio LLL (Lados Proporcionales)

Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados del otro, son semejantes.

$$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k \implies \text{Semejantes}$$

3. Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes.

$$\frac{a'}{a} = \frac{c'}{c} \text{ y } \angle B = \angle B' \implies \text{Semejantes}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo de la razón de semejanza

Un triángulo tiene lados 3, 4 y 5. Otro triángulo tiene lados 9, 12 y 15. ¿Son semejantes? ¿Cuál es la razón?

Datos:
Lados $T_1$: 3, 4, 5.
Lados $T_2$: 9, 12, 15.

Razonamiento:
Calculamos el cociente entre lados correspondientes (mayor con mayor, menor con menor).

$$\frac{9}{3} = 3$$ $$\frac{12}{4} = 3$$ $$\frac{15}{5} = 3$$

Como todas las razones dan lo mismo ($3$), son semejantes por criterio LLL.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí, son semejantes con } k = 3}$$

Ejemplo 2: Hallar un lado desconocido

Los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son semejantes.
En $\triangle ABC$, el lado $AB = 8$ cm.
En $\triangle DEF$, el lado correspondiente $DE = 4$ cm y el lado $EF = 6$ cm.
¿Cuánto mide el lado $BC$?

Razonamiento:
Primero hallamos la razón de semejanza del segundo al primero (o viceversa).
Usamos los lados correspondientes conocidos $AB$ y $DE$.

$$k = \frac{AB}{DE} = \frac{8}{4} = 2$$

Esto significa que el triángulo $ABC$ es el doble de grande que $DEF$.
Para hallar $BC$, multiplicamos su correspondiente $EF$ por la razón.

$$BC = EF \cdot k$$ $$BC = 6 \cdot 2$$

Resultado:

$$\boxed{12 \text{ cm}}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Determina si dos triángulos son semejantes si el primero tiene ángulos de 40° y 70°, y el segundo tiene ángulos de 70° y 80°.

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Razonamiento:
Calculamos el tercer ángulo del primer triángulo:
$180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ$.
Ángulos del primero: 40°, 70°, 70°.
Ángulos del segundo: 70°, 80°, y el tercero es $180^\circ-150^\circ=30^\circ$.

Los ángulos no coinciden.

Resultado:

$$\boxed{\text{No son semejantes}}$$

Ejercicio 2

Si un mapa está a escala 1:1000, ¿qué significa esto en términos de semejanza?

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Razonamiento:
El mapa y el terreno real son figuras semejantes.
La razón de semejanza es $k = 1000$ (si vamos del mapa a la realidad).
1 cm en el mapa equivale a 1000 cm en la realidad.

Resultado:

$$\boxed{\text{Son figuras semejantes con razón } k=1000}$$

Ejercicio 3

Calcula la altura de un árbol si proyecta una sombra de 12 m, al mismo tiempo que un poste de 2 m de altura proyecta una sombra de 3 m.

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Datos:
Triángulo Árbol: Altura $h$, Sombra 12.
Triángulo Poste: Altura 2, Sombra 3.
Los rayos del sol caen paralelos, formando triángulos semejantes (AA).

Razonamiento:
Establecemos la proporción:

$$\frac{h}{2} = \frac{12}{3}$$ $$\frac{h}{2} = 4$$ $$h = 4 \cdot 2$$

Resultado:

$$\boxed{8 \text{ m}}$$

Ejercicio 4

En un triángulo, trazamos una línea paralela a la base. ¿El triángulo pequeño que se forma en la punta es semejante al triángulo grande original?

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Razonamiento:
Al trazar una paralela, los ángulos correspondientes son iguales.
El ángulo superior es común.
Por criterio AA, los triángulos son semejantes. (Teorema fundamental de la semejanza).

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí, son semejantes}}$$

Ejercicio 5

Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza $k=3$. Si el perímetro del pequeño es 15 cm, ¿cuál es el perímetro del grande?

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Razonamiento:
La razón de los perímetros es igual a la razón de semejanza $k$.

$$P_{grande} = P_{pequeño} \cdot k$$ $$P_{grande} = 15 \cdot 3$$

Resultado:

$$\boxed{45 \text{ cm}}$$

Ejercicio 6

Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza $k=3$. Si el área del pequeño es $10 \text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del grande?

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Datos:
$k = 3$.
$A_1 = 10$.

Razonamiento:
La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza ($k^2$).

$$A_2 = A_1 \cdot k^2$$ $$A_2 = 10 \cdot 3^2$$ $$A_2 = 10 \cdot 9$$

Resultado:

$$\boxed{90 \text{ cm}^2}$$

Ejercicio 7

Halla $x$ si $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
Lados $ABC$: 4, 6, $x$.
Lados $DEF$: 2, 3, 5.

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Razonamiento:
Vemos la relación entre los lados conocidos.
$4 \to 2$ (La mitad).
$6 \to 3$ (La mitad).
Pasar de $ABC$ a $DEF$ es dividir por 2 (o multiplicar por $0.5$).
Pasar de $DEF$ a $ABC$ es multiplicar por 2.

$$x = 5 \cdot 2$$

Resultado:

$$\boxed{x = 10}$$

Ejercicio 8

¿Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí?

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Razonamiento:
Un triángulo equilátero tiene siempre sus tres ángulos internos de 60°.
Por el criterio AA (tienen los mismos ángulos), cualquier par de triángulos equiláteros será semejante.

Resultado:

$$\boxed{\text{Sí, siempre}}$$

Ejercicio 9

¿Todos los triángulos rectángulos son semejantes entre sí?

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Razonamiento:
Todos tienen un ángulo de 90°.
Pero los otros dos ángulos pueden variar (ej. 45-45 vs 30-60).
No cumplen necesariamente el criterio AA.

Resultado:

$$\boxed{\text{No necesariamente}}$$

Ejercicio 10

Si la razón de semejanza entre dos triángulos es $k=1$, ¿cómo se llaman esos triángulos?

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Razonamiento:
Si $k=1$, significa que los lados miden lo mismo y no hay cambio de tamaño.
Son triángulos iguales en forma y tamaño.

Resultado:

$$\boxed{\text{Congruentes}}$$

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🔑 Resumen

La semejanza es la base de los mapas, los planos, la fotografía y el funcionamiento de nuestra propia visión al percibir distancias.