Multiplicación y División de Imaginarios

Hasta ahora hemos sumado y restado números imaginarios como si fueran una variable cualquiera (como $x$). Pero al multiplicar o dividir, sucede algo mágico: la $i$ puede desaparecer o transformarse en un número real negativo. Esto se debe a la propiedad fundamental que define a los números imaginarios: $i^2 = -1$.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo multiplicar dos números imaginarios puros.
• Por qué el resultado de multiplicar dos imaginarios es un número real.
• Cómo multiplicar un número real por un imaginario.
• Cómo dividir números imaginarios.

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✖️ Multiplicación de Imaginarios

Cuando multiplicamos dos números imaginarios, multiplicamos los coeficientes (los números normales) y las $i$ por separado.

La Regla de Oro

$$(ai) \cdot (bi) = (a \cdot b) \cdot i^2$$

Como $i^2 = -1$, el resultado final es:

$$-ab$$

¡Ojo! El producto de dos números imaginarios puros es un número real.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Multiplicación Simple

Calcula $(3i)(4i)$.

Razonamiento:
Multiplicamos $3 \times 4$ y $i \times i$.

$$12 \cdot i^2$$

Sustituimos $i^2 = -1$.

$$12 \cdot (-1)$$

Resultado:

$$\boxed{-12}$$

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Ejemplo 2: Con Signos Negativos

Calcula $(-5i)(2i)$.

Razonamiento:
$(-5) \times 2 = -10$.

$$-10 \cdot i^2$$ $$-10 \cdot (-1)$$

Resultado:

$$\boxed{10}$$

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Ejemplo 3: Real por Imaginario

Calcula $5 \cdot (3i)$.

Razonamiento:
Aquí solo hay una $i$. Multiplicamos los números y dejamos la $i$ quieta.

$$(5 \cdot 3)i$$

Resultado:

$$\boxed{15i}$$

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Ejemplo 4: Multiplicación de Raíces Negativas

Calcula $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$.

Paso Crítico:
⚠️ Nunca multipliques los radicandos negativos directamente ($\sqrt{(-4)(-9)} \neq \sqrt{36}$).
Primero convierte a imaginarios.

Paso 1: Convertir
$\sqrt{-4} = 2i$
$\sqrt{-9} = 3i$

Paso 2: Multiplicar

$$(2i)(3i) = 6i^2$$

Resultado:

$$\boxed{-6}$$

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➗ División de Imaginarios

Al dividir, las $i$ se pueden cancelar, dejando solo un número real.

Ejemplo 5: División Simple

Calcula $\frac{12i}{4i}$.

Razonamiento:
Dividimos los números y cancelamos las $i$ (porque $i/i = 1$).

$$\frac{12}{4} \cdot \frac{i}{i} = 3 \cdot 1$$

Resultado:

$$\boxed{3}$$

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Ejemplo 6: División Real entre Imaginario

Calcula $\frac{10}{2i}$.

Razonamiento:
Tenemos una $i$ en el denominador. Para quitarla, multiplicamos arriba y abajo por $i$ (racionalización).

$$\frac{10}{2i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{10i}{2i^2}$$ $$\frac{10i}{2(-1)} = \frac{10i}{-2}$$

Resultado:

$$\boxed{-5i}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Calcula $(2i)(5i)$.

Ver solución

$$10i^2 = -10$$

Resultado: $\boxed{-10}$

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Ejercicio 2

Calcula $(-3i)(4i)$.

Ver solución

$$-12i^2 = -12(-1) = 12$$

Resultado: $\boxed{12}$

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Ejercicio 3

Calcula $(-6i)(-2i)$.

Ver solución

$$12i^2 = -12$$

Resultado: $\boxed{-12}$

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Ejercicio 4

Calcula $4(3i)$.

Ver solución

$$12i$$

Resultado: $\boxed{12i}$

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Ejercicio 5

Calcula $\sqrt{-25} \cdot \sqrt{-4}$.

Ver solución

$$(5i)(2i) = 10i^2 = -10$$

Resultado: $\boxed{-10}$

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Ejercicio 6

Divide $\frac{20i}{5i}$.

Ver solución

Se cancelan las $i$.

$$20 / 5 = 4$$

Resultado: $\boxed{4}$

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Ejercicio 7

Divide $\frac{8i}{-2i}$.

Ver solución

$$8 / -2 = -4$$

Resultado: $\boxed{-4}$

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Ejercicio 8

Divide $\frac{6}{3i}$.

Ver solución

$$\frac{6i}{3i^2} = \frac{6i}{-3} = -2i$$

Resultado: $\boxed{-2i}$

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Ejercicio 9

Calcula $(i\sqrt{2})(i\sqrt{8})$.

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$$i^2 \sqrt{16} = (-1)(4) = -4$$

Resultado: $\boxed{-4}$

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Ejercicio 10

Calcula $(3i)^2$.

Ver solución

$$3^2 \cdot i^2 = 9(-1) = -9$$

Resultado: $\boxed{-9}$

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🔑 Resumen

Conclusión: La clave siempre es recordar que cada par de $i$ que se multiplican se convierten en un -1.