Completar el Cuadrado

Esta técnica permite transformar cualquier trinomio en un binomio al cuadrado más (o menos) una constante. Es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas y encontrar vértices de parábolas.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A completar el cuadrado en expresiones de la forma $x^2 + bx$.
• A aplicar esta técnica en trinomios completos.
• A factorizar usando diferencia de cuadrados después de completar.
• A resolver ecuaciones cuadráticas con este método.

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🔍 La Idea Principal

Si tenemos $x^2 + bx$, podemos convertirlo en un cuadrado perfecto sumando y restando el mismo valor:

$$\boxed{x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

Pasos:

1. Toma la mitad del coeficiente de $x$: $\frac{b}{2}$.
2. Elévalo al cuadrado: $\left(\frac{b}{2}\right)^2$.
3. Suma y resta ese valor.

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Completar el cuadrado básico

Completa el cuadrado: $x^2 + 6x$

Datos:

• Coeficiente de $x$: $b = 6$

Razonamiento:

1. Mitad de 6:

$$\frac{6}{2} = 3$$

2. Al cuadrado:

$$3^2 = 9$$

3. Sumamos y restamos:

$$x^2 + 6x + 9 - 9$$

Resultado: $\boxed{(x + 3)^2 - 9}$

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Ejemplo 2: Con signo negativo

Completa el cuadrado: $x^2 - 8x$

Datos:

• Coeficiente de $x$: $b = -8$

Razonamiento:

1. Mitad de -8:

$$\frac{-8}{2} = -4$$

2. Al cuadrado:

$$(-4)^2 = 16$$

3. El resultado:

$$(x - 4)^2 - 16$$

Resultado: $\boxed{(x - 4)^2 - 16}$

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Ejemplo 3: En un trinomio completo

Escribe en forma de cuadrado: $x^2 + 6x + 5$

Datos:

• Ya sabemos que $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$.

Razonamiento:

1. Completamos:

$$(x + 3)^2 - 9$$

2. Sumamos la constante:

$$(x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$$

Resultado: $\boxed{(x + 3)^2 - 4}$

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Ejemplo 4: Factorizando después

Factoriza: $x^2 + 6x + 5$

Datos:

• Del ejemplo anterior: $(x + 3)^2 - 4$.

Razonamiento:

1. Reconocemos diferencia de cuadrados:

$$(x + 3)^2 - 2^2$$

2. Factorizamos:

$$[(x + 3) + 2][(x + 3) - 2]$$

3. Simplificamos:

$$(x + 5)(x + 1)$$

Resultado: $\boxed{(x + 5)(x + 1)}$

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Ejemplo 5: Resolviendo una ecuación

Resuelve: $x^2 - 4x - 5 = 0$

Datos:

• Primero completamos el cuadrado.

Razonamiento:

$$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$$

2. Entonces:

$$(x - 2)^2 - 4 - 5 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 9$$

3. Sacamos raíz:

$$x - 2 = \pm 3$$

4. Despejamos:

$$x = 2 + 3 = 5 \quad \text{o} \quad x = 2 - 3 = -1$$

Resultado: $\boxed{x = 5 \text{ o } x = -1}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Completa el cuadrado: $x^2 + 4x$

Ver solución

Datos: Mitad de 4 es 2. Al cuadrado: 4.
Razonamiento:

$$x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4$$

Resultado: $\boxed{(x + 2)^2 - 4}$

Ejercicio 2

Completa el cuadrado: $x^2 - 10x$

Ver solución

Datos: Mitad de -10 es -5. Al cuadrado: 25.
Razonamiento:

$$(x - 5)^2 - 25$$

Resultado: $\boxed{(x - 5)^2 - 25}$

Ejercicio 3

Escribe en forma de cuadrado: $x^2 + 8x + 12$

Ver solución

Datos: $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$
Razonamiento:

$$(x + 4)^2 - 16 + 12 = (x + 4)^2 - 4$$

Resultado: $\boxed{(x + 4)^2 - 4}$

Ejercicio 4

Escribe en forma de cuadrado: $x^2 - 6x + 2$

Ver solución

Datos: $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$
Razonamiento:

$$(x - 3)^2 - 9 + 2 = (x - 3)^2 - 7$$

Resultado: $\boxed{(x - 3)^2 - 7}$

Ejercicio 5

Factoriza completando el cuadrado: $x^2 + 2x - 3$

Ver solución

Datos: $(x + 1)^2 - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4$
Razonamiento:

Diferencia de cuadrados:

$$(x + 3)(x - 1)$$

Resultado: $\boxed{(x + 3)(x - 1)}$

Ejercicio 6

Factoriza: $x^2 - 8x + 15$

Ver solución

Datos: $(x - 4)^2 - 16 + 15 = (x - 4)^2 - 1$
Razonamiento:

Diferencia de cuadrados:

$$(x - 5)(x - 3)$$

Resultado: $\boxed{(x - 5)(x - 3)}$

Ejercicio 7

Factoriza: $x^2 + 10x + 9$

Ver solución

Datos: $(x + 5)^2 - 25 + 9 = (x + 5)^2 - 16$
Razonamiento:

$$(x + 9)(x + 1)$$

Resultado: $\boxed{(x + 9)(x + 1)}$

Ejercicio 8

Resuelve: $x^2 + 4x - 5 = 0$

Ver solución

Datos: $(x + 2)^2 - 4 - 5 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 9$
Razonamiento:

$$x + 2 = \pm 3 \Rightarrow x = 1 \quad \text{o} \quad x = -5$$

Resultado: $\boxed{x = 1 \text{ o } x = -5}$

Ejercicio 9

Resuelve: $x^2 - 6x + 5 = 0$

Ver solución

Datos: $(x - 3)^2 - 9 + 5 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4$
Razonamiento:

$$x - 3 = \pm 2 \Rightarrow x = 5 \quad \text{o} \quad x = 1$$

Resultado: $\boxed{x = 5 \text{ o } x = 1}$

Ejercicio 10

Completa el cuadrado con coeficiente: $2x^2 + 8x - 10$

Ver solución

Datos: Sacamos factor 2: $2(x^2 + 4x - 5)$
Razonamiento:

Adentro:

$$(x + 2)^2 - 9$$

Total:

$$2[(x + 2)^2 - 9] = 2(x + 2)^2 - 18$$

Resultado: $\boxed{2(x + 2)^2 - 18}$

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🔑 Resumen

Completar el cuadrado transforma cualquier trinomio en un cuadrado perfecto más una constante. Si esa constante es negativa, puedes seguir factorizando como diferencia de cuadrados.