Suma y Diferencia de Potencias Impares

Ya sabes cómo factorizar diferencias de cuadrados ($x^2 - y^2$) y sumas o diferencias de cubos ($x^3 \pm y^3$). ¿Qué pasa si el exponente es 5, 7 o cualquier otro número impar? Hoy aprenderás que estas expresiones siguen un patrón muy elegante que te permitirá factorizarlas fácilmente, sin importar qué tan grande sea el exponente.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A identificar cuándo aplicar este caso (potencias iguales impares).
• A construir el segundo factor "bajando y subiendo" exponentes.
• A manejar correctamente los signos en sumas y diferencias.
• A aplicar la fórmula general para cualquier potencia impar $n$.

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🔍 El Patrón: De lo conocido a lo nuevo

Recuerda cómo factorizamos una diferencia de cubos ($n=3$):

$$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$

Observa el segundo paréntesis (el factor largo):

1. Empieza con $x^2$ (uno menos que el original).
2. La $x$ baja: $x^2 \to x^1 \to \text{desaparece}$.
3. La $y$ sube: $\text{no está} \to y^1 \to y^2$.
4. Todos los signos son positivos.

¡Para potencias mayores ($n=5, 7, \dots$) funciona exactamente igual!

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⚡ Caso 1: Diferencia de Potencias Impares ($a^n - b^n$)

Cuando tienes una resta, el patrón de signos es el más fácil: todos son positivos.

La Fórmula

$$\boxed{a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})}$$

Cómo construirla paso a paso:

1. Primer factor (la raíz): Es la resta de las bases $(a - b)$.
2. Segundo factor (el polinomio):
   • El primer término empieza con exponente $n-1$.
   • Vas bajando el exponente de $a$ y subiendo el de $b$.
   • Todos los signos son positivos ($+$).

Ejemplo 1: Diferencia de quintas

Factoriza la expresión:

$$x^5 - 32$$

Razonamiento:

1. Verificamos que sean potencias quintas:

$$x^5 - 2^5$$

2. Escribimos el primer factor con la resta de las bases:

$$(x - 2)$$

3. Construimos el segundo factor. Como era $x^5$, empezamos con $x^4$.

   • $x$ baja: $x^4 \to x^3 \to x^2 \to x \to 1$
   • $2$ sube: $1 \to 2 \to 2^2 \to 2^3 \to 2^4$

   Escribámoslo término a término:

$$x^4 + x^3(2) + x^2(2^2) + x(2^3) + 2^4$$

4. Simplificamos las potencias de los números:

$$x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$$

Resultado:

$$\boxed{(x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)}$$

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⚡ Caso 2: Suma de Potencias Impares ($a^n + b^n$)

Cuando tienes una suma, el patrón es casi idéntico, pero los signos del segundo factor se alternan.

La Fórmula

$$\boxed{a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})}$$

Regla de signos para la SUMA:

• Empiezas con positivo (+).
• Luego negativo (-).
• Luego positivo (+).
• Y así sucesivamente... (+ , - , + , - , ...)

Ejemplo 2: Suma de quintas

Factoriza la expresión:

$$m^5 + 243$$

Razonamiento:

1. Identificamos las potencias. Sabemos que $3^5 = 243$:

$$m^5 + 3^5$$

2. Primer factor (suma de bases):

$$(m + 3)$$

3. Segundo factor (alternando signos):

   • Empieza con $m^4$.
   • Signos: $+ - + - +$

   Construyamos:

$$m^4 - m^3(3) + m^2(3^2) - m(3^3) + 3^4$$

4. Simplificamos:

$$m^4 - 3m^3 + 9m^2 - 27m + 81$$

Resultado:

$$\boxed{(m + 3)(m^4 - 3m^3 + 9m^2 - 27m + 81)}$$

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⚙️ Ejemplos Resueltos Complejos

Ejemplo 3: Con coeficientes en ambos términos

Factoriza:

$$32x^5 + 1$$

Datos:

• $\sqrt[5]{32x^5} = 2x$
• $\sqrt[5]{1} = 1$

Razonamiento:

1. Primer factor:

$$(2x + 1)$$

2. Segundo factor (alternando signos).
   • Cuidado: el primer término $(2x)$ debe elevarse completo entre paréntesis.

$$(2x)^4 - (2x)^3(1) + (2x)^2(1^2) - (2x)(1^3) + 1^4$$

3. Desarrollamos las potencias:
   • $(2x)^4 = 16x^4$
   • $(2x)^3 = 8x^3$
   • $(2x)^2 = 4x^2$

$$16x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 2x + 1$$

Resultado:

$$\boxed{(2x + 1)(16x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 2x + 1)}$$

Ejemplo 4: Séptima potencia (n=7)

Factoriza:

$$x^7 - y^7$$

Razonamiento:

1. Primer factor (es resta, así que resta de bases):

$$(x - y)$$

2. Segundo factor (es resta, así que todos positivos).
   • Empezamos con exponente 6 ($7-1$).

$$x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6$$

Resultado:

$$\boxed{(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6)}$$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Factoriza: $x^5 - 1$

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Datos: Diferencia de quintas ($1 = 1^5$).

Razonamiento:
El primer factor es $(x-1)$. El segundo tiene todos los signos positivos, empezando en $x^4$.

$$(x - 1)(x^4 + x^3(1) + x^2(1)^2 + x(1)^3 + 1^4)$$

Resultado:

$$\boxed{(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}$$

Ejercicio 2

Factoriza: $a^5 + 1$

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Datos: Suma de quintas. Signos alternados.

Razonamiento:

$$(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$$

Resultado:

$$\boxed{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)}$$

Ejercicio 3

Factoriza: $x^7 + 1$

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Datos: Suma de séptimas ($n=7$). Signos alternados.

Razonamiento:
Empezamos con $x^6$.

$$(x + 1)(x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$$

Resultado:

$$\boxed{(x + 1)(x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)}$$

Ejercicio 4

Factoriza: $32 - b^5$

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Datos: $32 = 2^5$.

Razonamiento:
Primer factor $(2 - b)$. Segundo factor con todos positivos.

$$(2 - b)(2^4 + 2^3b + 2^2b^2 + 2b^3 + b^4)$$

Simplificamos las potencias de 2:

Resultado:

$$\boxed{(2 - b)(16 + 8b + 4b^2 + 2b^3 + b^4)}$$

Ejercicio 5

Factoriza: $x^5 + 32y^5$

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Datos: $32y^5 = (2y)^5$.

Razonamiento:
Primer factor $(x + 2y)$. Segundo factor alterna signos.

$$x^4 - x^3(2y) + x^2(2y)^2 - x(2y)^3 + (2y)^4$$

Resultado:

$$\boxed{(x + 2y)(x^4 - 2x^3y + 4x^2y^2 - 8xy^3 + 16y^4)}$$

Ejercicio 6

Factoriza: $243x^5 - 1$

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Datos: $243x^5 = (3x)^5$.

Razonamiento:
Primer factor $(3x - 1)$. Segundo factor todo positivo.

$$(3x)^4 + (3x)^3 + (3x)^2 + (3x) + 1$$

Resultado:

$$\boxed{(3x - 1)(81x^4 + 27x^3 + 9x^2 + 3x + 1)}$$

Ejercicio 7

Factoriza: $m^7 - n^7$

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Datos: Diferencia de séptimas.

Razonamiento:
Primer factor $(m-n)$. Segundo factor positivo, bajando de $m^6$ a $m^0$.

Resultado:

$$\boxed{(m - n)(m^6 + m^5n + m^4n^2 + m^3n^3 + m^2n^4 + mn^5 + n^6)}$$

Ejercicio 8

Factoriza: $a^5b^5 + 32$

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Datos: $(ab)^5 + 2^5$.

Razonamiento:

$$(ab + 2)((ab)^4 - (ab)^3(2) + (ab)^2(4) - (ab)(8) + 16)$$

Resultado:

$$\boxed{(ab + 2)(a^4b^4 - 2a^3b^3 + 4a^2b^2 - 8ab + 16)}$$

Ejercicio 9

Factoriza: $x^{10} + 1$ (Nota: $x^{10} = (x^2)^5$)

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Datos: Podemos verlo como una suma de quintas de $x^2$.

Razonamiento:
$(x^2)^5 + 1^5$. Bases son $x^2$ y $1$.

Primer factor: $(x^2 + 1)$.
Segundo factor (alternando):

$$(x^2)^4 - (x^2)^3 + (x^2)^2 - x^2 + 1$$

Resultado:

$$\boxed{(x^2 + 1)(x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1)}$$

Ejercicio 10

Factoriza: $2a^5 + 64$

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Datos: Primero hay un Factor Común 2.

Razonamiento:

1. Saca el factor común:

$$2(a^5 + 32)$$

2. Factoriza la suma de quintas dentro:

$$2(a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)$$

Resultado:

$$\boxed{2(a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)}$$

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🔑 Resumen

Para factorizar $a^n \pm b^n$ con $n$ impar:

Truco final: El segundo factor siempre tiene exactamente $n$ términos. Si factorizas potencia 5, el paréntesis largo tendrá 5 términos.