Suma y Resta con Denominador Común

Sumar fracciones con el mismo denominador es tan fácil como sumar rebanadas de pizza del mismo tamaño: solo sumas cuántas tienes, pero el tamaño de la rebanada no cambia. Si tienes $\frac{3}{8}$ de pizza y te dan $\frac{2}{8}$ más, tienes $\frac{5}{8}$, no $\frac{5}{16}$. ¡En álgebra funciona exactamente igual!

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• La regla de oro: el denominador se mantiene, solo operamos arriba.
• A manejar el signo negativo en las restas (donde se equivocan el 90% de los estudiantes).
• A simplificar el resultado final siempre que sea posible.

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🔍 La Regla Básica

Si los denominadores son iguales (son "homogéneos"), todo se fusiona en una sola fracción:

$$\frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D}$$

¡OJO con la resta! El signo menos afecta a todo lo que sigue:
$\frac{A}{D} - \frac{B + C}{D} = \frac{A - (B + C)}{D} = \frac{A - B - C}{D}$

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Suma básica

Suma: $\dfrac{3x}{x+2} + \dfrac{5x}{x+2}$

Datos:

• Denominador común: $x+2$.

Razonamiento:

1. Escribimos un solo denominador.
2. Sumamos los numeradores: $3x + 5x = 8x$.

Resultado: $\boxed{\frac{8x}{x+2}}$

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Ejemplo 2: Resta con signos (¡Peligro!)

Resta: $\dfrac{5x + 4}{x-3} - \dfrac{2x - 1}{x-3}$

Datos:

• Denominador común: $x-3$.
• Restamos un binomio: $(2x - 1)$.

Razonamiento:

1. Unimos con el denominador común.

2. Aplicamos el menos al segundo numerador, usando paréntesis:

$$5x + 4 - (2x - 1)$$

3. Distribuimos el signo:

$$5x + 4 - 2x + 1$$

4. Reducimos términos semejantes:

$$3x + 5$$

Resultado: $\boxed{\frac{3x + 5}{x-3}}$

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Ejemplo 3: Suma que permite simplificar

Suma: $\dfrac{x^2}{x+3} + \dfrac{5x + 6}{x+3}$

Datos:

• Denominador: $x+3$.

Razonamiento:

1. Sumamos numeradores:

$$x^2 + 5x + 6$$

2. La fracción queda:

$$\frac{x^2 + 5x + 6}{x+3}$$

3. ¡Espera! El numerador se puede factorizar (trinomio):

$$x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)$$

4. Simplificamos la fracción:

$$\frac{(x+3)(x+2)}{x+3} = x+2$$

Resultado: $\boxed{x + 2}$

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Ejemplo 4: Resta que genera diferencia de cuadrados

Resta: $\dfrac{x^2}{x-5} - \dfrac{25}{x-5}$

Datos:

• Numeradores $x^2$ y $25$.

Razonamiento:

1. Restamos: $x^2 - 25$.
2. Fracción: $\frac{x^2 - 25}{x-5}$.
3. Factorizamos el numerador (diferencia de cuadrados):
   $(x+5)(x-5)$
4. Cancelamos $(x-5)$.

Resultado: $\boxed{x + 5}$

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Ejemplo 5: Tres fracciones

Calcula: $\dfrac{4x}{2x-1} + \dfrac{x+3}{2x-1} - \dfrac{x-2}{2x-1}$

Datos:

• Tres fracciones, mismo denominador.

Razonamiento:

1. Numerador gigante:

$$4x + (x+3) - (x-2)$$

2. Quitamos paréntesis (cuidado con el menos del final):

$$4x + x + 3 - x + 2$$

3. Reducimos:

$$4x + x - x = 4x$$ $$3 + 2 = 5$$

4. Numerador final:

$$4x + 5$$

Resultado: $\boxed{\frac{4x + 5}{2x-1}}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Suma $\dfrac{2a}{5} + \dfrac{3a}{5}$.

Ver solución

Datos: Denom 5.
Razonamiento:

$$2a + 3a = 5a \quad \to \quad \frac{5a}{5} = a$$

Resultado: $\boxed{a}$

Ejercicio 2

Resta $\dfrac{7x}{x+1} - \dfrac{3x}{x+1}$.

Ver solución

Datos: Denom x+1.
Razonamiento:

$$7x - 3x = 4x$$

Resultado: $\boxed{\frac{4x}{x+1}}$

Ejercicio 3

Suma $\dfrac{x}{x+y} + \dfrac{y}{x+y}$.

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Razonamiento:

$$\frac{x+y}{x+y} = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 4

Resta $\dfrac{5x+2}{3} - \dfrac{2x-4}{3}$.

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Razonamiento:

$$5x + 2 - (2x - 4) = 5x + 2 - 2x + 4 = 3x + 6$$ $$\frac{3x+6}{3} = \frac{3(x+2)}{3}$$

Resultado: $\boxed{x+2}$

Ejercicio 5

Calcula $\dfrac{x^2}{x-2} - \dfrac{4}{x-2}$.

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Razonamiento:

$$\frac{x^2 - 4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$$

Resultado: $\boxed{x+2}$

Ejercicio 6

Suma $\dfrac{3x}{x^2+2x} + \dfrac{6}{x^2+2x}$.

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Razonamiento:

$$\frac{3x+6}{x^2+2x}$$

Factorizamos:

$$\frac{3(x+2)}{x(x+2)}$$

Cancelamos.

Resultado: $\boxed{\frac{3}{x}}$

Ejercicio 7

Resta $\dfrac{2a+b}{a+b} - \dfrac{a}{a+b}$.

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Razonamiento:

$$2a + b - a = a + b \quad \to \quad \frac{a+b}{a+b} = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 8

Suma $\dfrac{x^2 - x}{x+1} + \dfrac{2x + 2}{x+1}$ (Nota: Esta era trampa, verifica si se puede simplificar al final).

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Razonamiento:

$$\frac{x^2 + x + 2}{x+1}$$

El numerador no factoriza fácil con enteros reales simples.

Resultado: $\boxed{\frac{x^2 + x + 2}{x+1}}$

Ejercicio 9

Calcula $\dfrac{x+1}{2x} + \dfrac{x-1}{2x}$.

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Razonamiento:

$$x + 1 + x - 1 = 2x \quad \to \quad \frac{2x}{2x} = 1$$

Resultado: $\boxed{1}$

Ejercicio 10

Resta $\dfrac{a^2}{a-b} - \dfrac{b^2}{a-b}$.

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Razonamiento:

$$\frac{a^2 - b^2}{a-b} = \frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$$

Resultado: $\boxed{a+b}$

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🔑 Resumen

Mantén el denominador quieto hasta el final, y ten cuidado con los signos negativos "ocultos" en las restas.