Cubo de un Binomio

🎯 ¿Qué vas a aprender?

• A entender el significado de elevar un binomio a la potencia 3.
• La regla de los "triples productos" para el cubo de una suma.
• El patrón de signos alternados para el cubo de una resta.
• A aplicar la fórmula paso a paso sin perderse en los cálculos.

---

🧊 El Cubo de una Suma

Cuando multiplicamos $(a + b)$ por sí mismo tres veces, obtenemos una expresión de cuatro términos. El patrón es muy ordenado: el exponente de la primera letra va bajando ($3, 2, 1, 0$) mientras que el de la segunda letra va subiendo.

Ejemplo: Paso a paso con números

Calcula: $(x + 2)^3$

Razonamiento:

1. Cubo del primero: $x^3$.
2. Triple del primero al cuadrado por el segundo: $3 \cdot (x^2) \cdot (2) = 6x^2$.
3. Triple del primero por el segundo al cuadrado: $3 \cdot (x) \cdot (2^2) = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$.
4. Cubo del segundo: $2^3 = 8$.

Resultado: $\boxed{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}$

La Regla General (Suma)

$$\boxed{(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$$

---

📉 El Cubo de una Resta

Para la resta, la fórmula es idéntica en valores, pero los signos se alternan empezando por el primero positivo: $(+), (-), (+), (-)$.

Ejemplo: El caso negativo

Calcula: $(m - 1)^3$

Razonamiento:

1. Primero al cubo: $m^3$.
2. Triple del 1ero cuadrado por el 2do: $3 \cdot m^2 \cdot 1 = 3m^2$ (negativo).
3. Triple del 1ero por el 2do cuadrado: $3 \cdot m \cdot 1^2 = 3m$ (positivo).
4. Segundo al cubo: $1^3 = 1$ (negativo).

Resultado: $\boxed{m^3 - 3m^2 + 3m - 1}$

La Regla General (Resta)

$$\boxed{(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3}$$

---

⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Con coeficientes mayores

Desarrolla: $(2x + 3)^3$

Datos:

• $a = 2x$
• $b = 3$

Razonamiento:

1. $(2x)^3 = 8x^3$
2. $3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2$
3. $3 \cdot (2x) \cdot 3^2 = 3 \cdot 2x \cdot 9 = 54x$
4. $3^3 = 27$

Resultado: $\boxed{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27}$

---

Ejemplo 2: Variables combinadas

Calcula: $(a - 2b)^3$

Datos:

• $a = a$
• $b = 2b$

Razonamiento:

1. $a^3 = a^3$
2. $3 \cdot a^2 \cdot (2b) = 6a^2b$ (negativo)
3. $3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$ (positivo)
4. $(2b)^3 = 8b^3$ (negativo)

Resultado: $\boxed{a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3}$

---

📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Resuelve: $(x + 1)^3$

Ver solución

Datos: $a = x, b = 1$.
Razonamiento: $x^3 + 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) + 1^3$.
Resultado: $\boxed{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}$

Ejercicio 2

Desarrolla: $(a - 2)^3$

Ver solución

Datos: Cubo de una resta.
Razonamiento: $a^3 - 3(a^2)(2) + 3(a)(2^2) - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$.
Resultado: $\boxed{a^3 - 6a^2 + 12a - 8}$

Ejercicio 3

Calcula: $(2y + 1)^3$

Ver solución

Datos: Primer término con coeficiente $2$.
Razonamiento: $(2y)^3 + 3(2y)^2(1) + 3(2y)(1^2) + 1^3 = 8y^3 + 12y^2 + 6y + 1$.
Resultado: $\boxed{8y^3 + 12y^2 + 6y + 1}$

Ejercicio 4

Resuelve: $(x - 5)^3$

Ver solución

Datos: Los signos se alternan $+,-,+,-$.
Razonamiento: $x^3 - 3(x^2)(5) + 3(x)(5^2) - 5^3 = x^3 - 15x^2 + 75x - 125$.
Resultado: $\boxed{x^3 - 15x^2 + 75x - 125}$

Ejercicio 5

Desarrolla: $(3x + 2)^3$

Ver solución

Datos: Coeficiente $3$ y número $2$.
Razonamiento: $(3x)^3 + 3(3x)^2(2) + 3(3x)(2^2) + 2^3 = 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8$.
Resultado: $\boxed{27x^3 + 54x^2 + 36x + 8}$

Ejercicio 6

Calcula: $(4a - 1)^3$

Ver solución

Datos: $a = 4a, b = 1$.
Razonamiento: $(4a)^3 - 3(4a)^2(1) + 3(4a)(1^2) - 1^3 = 64a^3 - 48a^2 + 12a - 1$.
Resultado: $\boxed{64a^3 - 48a^2 + 12a - 1}$

Ejercicio 7

Resuelve: $(x^2 + 2)^3$

Ver solución

Datos: El primer término tiene exponente.
Razonamiento: $(x^2)^3 + 3(x^2)^2(2) + 3(x^2)(2^2) + 2^3 = x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8$.
Resultado: $\boxed{x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8}$

Ejercicio 8

Desarrolla: $(x + \frac{1}{2})^3$

Ver solución

Datos: Fracción como segundo término.
Razonamiento: $x^3 + 3(x^2)(\frac{1}{2}) + 3(x)(\frac{1}{4}) + \frac{1}{8}$.
Resultado: $\boxed{x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}}$

Ejercicio 9

Simplifica: $(x + 1)^3 - x^3$

Ver solución

Datos: Desarrollo y resta de términos.
Razonamiento: $(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - x^3 = 3x^2 + 3x + 1$.
Resultado: $\boxed{3x^2 + 3x + 1}$

Ejercicio 10

Calcula el volumen de un cubo de arista $(x + 3)$.

Ver solución

Datos: $V = \text{Arista}^3$.
Razonamiento: $(x + 3)^3 = x^3 + 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.
Resultado: $\boxed{x^3 + 9x^2 + 27x + 27}$

---

🔑 Resumen

Elevar al cubo requiere orden. Recuerda la secuencia de exponentes del primer término: $3, 2, 1, 0$. Si sigues este ritmo, nunca olvidarás un término.