Gráficas de Funciones Cuadráticas

Ya sabemos resolver la ecuación, ahora vamos a verla. Graficar una parábola puede parecer arte, pero en realidad es seguir una receta. Con solo tres puntos clave (el vértice y los cortes con los ejes), puedes dibujar cualquier curva cuadrática sin necesidad de una computadora.

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🎯 ¿Qué vas a aprender?

• Cómo dibujar una parábola perfecta usando puntos clave.
• Pasar de la forma estándar ($ax^2+bx+c$) a la forma vértice.
• Leer la gráfica: dónde sube, dónde baja y dónde alcanza su límite.
• Entender el eje de simetría (el espejo de la parábola).

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🗺️ El Mapa del Tesoro

Para no dibujar "a ciegas", necesitamos encontrar los 4 Puntos Vitales de la parábola. Si los tienes, el dibujo sale solo.

1. Orientación: ¿Arriba o abajo? (Depende del signo de $a$).
2. Vértice ($V$): El punto exacto donde da la vuelta.
3. Corte con Y: Donde cruza el eje vertical (la altura inicial).
4. Raíces (Cortes con X): Donde cruza el suelo (si es que lo hace).

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⚙️ Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Parábola Completa

Graficar $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Paso 1: ¿Hacia dónde mira?
$a = 1$. Como es positivo ($+$), abre hacia arriba (🙂).

Paso 2: Encontrar el Vértice
El vértice tiene dos coordenadas $(x, y)$.

• Para la $x$: Usamos la fórmula sagrada $x_v = \frac{-b}{2a}$. $$x_v = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$$
• Para la $y$: "Enchufamos" ese 2 en la ecuación original. $$y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

📌 Vértice: $(2, -1)$.

Paso 3: Cortes con los ejes

• Eje Y: Es el valor de $c$. Aquí $c=3$. Punto $(0, 3)$.
• Eje X: Factorizamos $x^2 - 4x + 3 = 0$.
  $(x-3)(x-1)=0 \implies x=3, x=1$.

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Ejemplo 2: Parábola Invertida

Graficar $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

1. Orientación:
$a = -1$. Negativo ($-$), abre hacia abajo (☹️).

2. Vértice:

• $x_v = \frac{-2}{2(-1)} = \frac{-2}{-2} = 1$.
• $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
  📌 Vértice: $(1, 4)$.

3. Cortes:

• Corte Y: $c=3$. Punto $(0, 3)$.
• Cortes X: $-x^2 + 2x + 3 = 0$. Multiplicamos por $-1$: $x^2 - 2x - 3 = 0$.
  $(x-3)(x+1) = 0 \implies x=3, x=-1$.

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Ejemplo 3: Sin Raíces Reales

Graficar $f(x) = x^2 + 2x + 2$.

1. Vértice:

• $a=1, b=2$.
• $x_v = \frac{-2}{2(1)} = -1$.
• $y_v = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.
  📌 Vértice: $(-1, 1)$.

2. Análisis Visual:
El vértice está en altura $1$ (por encima del suelo) y la parábola abre hacia arriba.
¿Conclusión? ¡Nunca tocará el suelo! No tiene cortes con X.

3. Puntos de Ayuda:

• Corte Y: $(0, 2)$.
• Por simetría: Si del vértice $(-1, 1)$ damos un paso a la derecha y subimos a 2, entonces un paso a la izquierda $(-2)$ también subirá a 2. Punto $(-2, 2)$.

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Ejemplo 4: Forma Vértice

Graficar $f(x) = 2(x-1)^2 - 3$.

A veces la ecuación viene "pre-cocinada" en la forma $a(x-h)^2 + k$.
¡Es la mejor forma! No hay que calcular nada.

• Vértice: $(h, k) = (1, -3)$. (Nota: al número dentro del paréntesis se le cambia el signo).
• Orientación: $a=2$ (Abre arriba y es estrecha).

Puntos extra:
Si $x=0 \implies y = 2(-1)^2 - 3 = 2(1) - 3 = -1$. Punto $(0, -1)$.
Su gemelo simétrico estará en $x=2$ con la misma altura $-1$.

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1

Encuentra el vértice de $y = x^2 - 6x + 5$.

Ver solución

$x_v = 3$, $y_v = -4$.
Resultado: $\boxed{(3, -4)}$

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Ejercicio 2

¿Dónde corta al eje Y la función $f(x) = -3x^2 + 7$?

Ver solución

En $x=0, y=7$.
Resultado: $\boxed{(0, 7)}$

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Ejercicio 3

¿Cuáles son las raíces de $y = x^2 - 9$?

Ver solución

$x^2=9$.
Resultado: $\boxed{3, -3}$

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Ejercicio 4

Escribe la ecuación del eje de simetría de $y = (x-2)^2 + 5$.

Ver solución

Pasa por el vértice $x=2$.
Resultado: $\boxed{x=2}$

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Ejercicio 5

Si el vértice es $(1, 3)$ y pasa por $(0, 4)$, encuentra el punto simétrico.

Ver solución

El simétrico de $x=0$ respecto a $x=1$ es $x=2$. La altura $y$ es la misma.
Resultado: $\boxed{(2, 4)}$

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Ejercicio 6

Convierte $y = x^2 + 4x + 4$ a forma vértice.

Ver solución

Es un trinomio cuadrado perfecto: $(x+2)^2$.
Resultado: $\boxed{y = (x+2)^2}$

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Ejercicio 7

¿Tiene máximo o mínimo la función $y = -5(x+1)^2 - 2$?

Ver solución

$a=-5$, abre abajo.
Resultado: $\boxed{\text{Máximo}}$

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Ejercicio 8

Encuentra el vértice de $y = -2x^2 + 8x$.

Ver solución

$x_v = -8/-4 = 2$.
$y_v = -2(4)+16 = 8$.
Resultado: $\boxed{(2, 8)}$

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Ejercicio 9

Determina si la parábola $y = x^2 + 10$ corta al eje X.

Ver solución

Vértice en $(0, 10)$, abre arriba. Nunca baja al eje X.
Resultado: $\boxed{\text{No}}$

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Ejercicio 10

Grafica mentalmente: vértice en $(0,0)$ y pasa por $(1,1)$. ¿Cuál es la función?

Ver solución

La parábola básica.
Resultado: $\boxed{y = x^2}$

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🔑 Resumen

Conclusión: Dibujar una parábola no requiere talento artístico, solo saber encontrar sus puntos vitales. El vértice es la cabeza y los interceptos son los pies sobre la tierra.